Record #347728 - GSI Repository

DFG project G:(GEPRIS)531361885

Geometrische Darstellungstheorie durch Hodge-Theorie und Kombinatorik

Coordinator	Dr. Leonardo Patimo
Grant period	2023 -
Funding body	Deutsche Forschungsgemeinschaft
	DFG
Identifier	G:(GEPRIS)531361885

Note: Eine Darstellung ist die Realisierung einer Gruppe von Symmetrien in Form von linearen Transformationen. Durch die Klassifizierung von Darstellungen können wir die Symmetrien von Objekten nutzen, um ihre Eigenschaften zu entschlüsseln. Mein Forschungsprojekt zielt darauf ab, innovative Ergebnisse über Darstellungen von algebraischen Gruppen zu beweisen und unser Verständnis dieser Objekte zu erweitern. Um dies zu erreichen, werde ich sowohl geometrische als auch kombinatorische Techniken einsetzen. Insbesondere plane ich, neue geometrisch motivierte Methoden zur Berechnung von Charakterformeln zu entwickeln und die kombinatorischen Eigenschaften von Darstellungen zu untersuchen. Mein Projekt konzentriert sich auf das Teilgebiet der Geometrischen Darstellungstheorie, in dem Darstellungen in Form von intrikaten geometrischen Strukturen wie perversen Garben untersucht werden. Wie von der Langlands-Philosophie vorhergesagt, können wir auf der Langlands-dualen Seite viele Kategorien von Darstellungen geometrisch realisieren, wodurch algebraische Geometrie und Darstellungstheorie eng miteinander verflochten sind. In den letzten zehn Jahren wurde die Geometrische Darstellungstheorie durch neue Ideen aus verschiedenen Bereichen wie der komplexen Geometrie, der Kategorientheorie und der Kombinatorik verändert. Diese neuen Techniken ermöglichen es uns, Bereiche der Darstellungstheorie zu erforschen, die vorher nicht zugänglich waren, und Rechnungen viel effizienter durchzuführen. Eine besondere Rolle spielt die Hodge-Theorie, ein Werkzeugkasten, der ursprünglich für das Studium komplexer Varietäten entwickelt wurde. Viele Aussagen in der Darstellungstheorie lassen sich durch eine Übersetzung in die Sprache der Hodge-Theorie formulieren, und neuere herausragende Ergebnisse haben gezeigt, dass Hodge-Theorie-basierte Sätze auch in Situationen, in denen die Geometrie fehlt, von Vorteil sind. Unser Ziel ist es, das Verständnis irreduzibler Darstellungen algebraischer Gruppen zu verbessern, indem wir diese neueren Methoden der Hodge-Theorie vorantreiben. Wir möchten Bereiche erforschen, die bisher noch nicht behandelt wurden, wie die KLR und die Cherednik-Algebra, die aus dem Studium der quantenintegrablen Systeme stammen. Aufbauend auf unseren früheren Ergebnissen möchten wir auch die Hodge-Theorie anwenden, um die Struktur der Kazhdan-Lusztig-Polynome zu analysieren. Diese sind zentrale Objekte in der Darstellungstheorie und bilden den Kern mehrerer Charakterformeln. Sie sind jedoch schwer zu entschlüsseln, und grundlegende Vermutungen über ihre Kombinatorik sind noch offen. Dank einer neuen alternativen Konstruktion von KL-Polynomen sehen wir heute eine neue Möglichkeit, diese Vermutungen zu lösen. Zusätzlich werden wir Anwendungen in der modularen Darstellungstheorie untersuchen, wo wir die Berechenbarkeit von Charakterformeln vorantreiben können, indem wir die positive charakteristische Analogie der KL-Polynome untersuchen.

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Record created 2023-12-19, last modified 2024-09-28

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